La distribución normal, también conocida como la campana de Gauss, es una herramienta fundamental en estadística para modelar y analizar datos. Uno de los conceptos clave asociados a la distribución normal es la normal inversa, una técnica que nos permite encontrar valores de una variable aleatoria que corresponden a una probabilidad específica.
La normal inversa, a menudo llamada inversa de la función de distribución acumulada (CDF), es una herramienta esencial para responder preguntas como:
- ¿Qué valor de la variable aleatoria X corresponde a un área específica bajo la curva normal?
- ¿Cuál es el límite superior o inferior de un intervalo específico que contiene un determinado porcentaje de la distribución?
¿Qué te dice la normal inversa?
Imagina que Fred, un observador de aves, se une a un grupo de entusiastas de la observación de aves. Este grupo tiene una peculiaridad: es poco puntual. Las reuniones programadas para las 7 PM suelen empezar mucho más tarde. Fred, usando su conocimiento de matemáticas, decide analizar los tiempos de llegada del grupo para comprender mejor su comportamiento.
Hay 1000 miembros que asisten regularmente a las reuniones mensuales. Fred llega temprano y registra los tiempos de llegada de los demás miembros en relación con la hora de inicio de las 7 PM. El promedio de estos tiempos de llegada, μ, es de 15 minutos. En otras palabras, los miembros suelen llegar 15 minutos tarde. La desviación estándar, σ, de los datos de Fred es de 5 minutos.
Al graficar los datos, Fred reconoce la familiar curva en forma de campana, la función de densidad de probabilidad normal, también conocida como distribución gaussiana. El pico de la curva se ubica en la media de 1
Esta es una curva idealizada, y los datos de Fred se aproximan a esta forma. El área bajo la curva representa una probabilidad. La integral desde -∞ hasta +∞ incluye todos los tiempos de llegada, y la probabilidad es
La variable X en el eje horizontal representa el tiempo de llegada. Podemos hacer preguntas como: "¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria X (es decir, el tiempo de llegada) sea menor que un cierto valor?". En la figura, el área sombreada en naranja representa la probabilidad de que una persona llegue menos de 5 minutos tarde.
Encontrando la inversa
Fred quiere saber a qué hora, 'a', habrá menos de 23 miembros presentes. Esta es una probabilidad de 23/1000 = 0.02En otras palabras, estamos buscando el valor de X que genera un área bajo la curva igual al valor dado, en este caso, 0.02Este es el valor de la probabilidad normal inversa. Podemos escribirlo como P(X < a) = 0.02
Esta probabilidad de 0.023 representa el área bajo la curva. En principio, integraríamos la curva normal desde -∞ hasta 'a'. El problema es que no conocemos 'a' y la integral en sí no tiene una solución de forma cerrada. Podemos usar métodos numéricos para aproximar la integral con gran precisión, pero no tendremos un resultado como función de 'a'. Si lo hiciéramos, podríamos igualar este resultado a 0.023 y usar álgebra para resolver 'a'.
Además, sería imposible tabular todas las posibles combinaciones de medias y desviaciones estándar. En cambio, se publican tablas para una media de 0 y una desviación estándar de La variable aleatoria se denomina Z. Una parte de una de estas tablas se ve así:
| Z | Área |
|---|---|
| -99 | 0.0233 |
| -00 | 0.0228 |
| -01 | 0.0222 |
Fred busca en la tabla el número más cercano a 0.02Encuentra:
- P = 0.0233 para Z = -99
- P = 0.0228 para Z = -00
- P = 0.0222 para Z = -01
La relación entre las variables aleatorias X y Z se define como:
Z = (X - μ) / σ
En nuestro caso, μ = 15 y σ = 5:
Z = (a - 15) / 5
Por lo tanto, (a - 15) / 5 = -00. Resolviendo para 'a', obtenemos a =
¡Fred está delirantemente feliz! Espera ver al menos 23 miembros presentes después de esperar 5 minutos.
¿Qué es z en distribución normal?
La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación estándar.
La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación estándar es uno. Esto simplifica drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tomemos un momento y sustituyamos el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y veremos que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente usando el cálculo integral.
La transformación z = (x - μ) / σ produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor 'x' en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación estándar conocida σ. La puntuación z indica cuántas desviaciones estándar se aleja un determinado valor 'x' de la media.
¿Qué es normalidad en estadística?
El diccionario define "normal" como algo que se encuentra en un estado natural o que se ajusta a normas preestablecidas. Este es su significado más común. Sin embargo, como muchas otras palabras, "normal" tiene varios significados. En estadística, al hablar de normalidad nos referimos a una distribución de probabilidad específica, la llamada distribución normal, la famosa campana de Gauss.
Esta distribución se caracteriza por su simetría alrededor de una media, que coincide con la mediana, además de otras características propias. La gran ventaja de la distribución normal es que nos permite calcular probabilidades de aparición de datos de esa distribución, lo que nos permite inferir datos de la población a partir de los obtenidos de una muestra.
Prácticamente todas las pruebas paramétricas de contraste de hipótesis requieren que los datos sigan una distribución normal. Podríamos pensar que esto no es un gran problema. Si se llama "normal", será porque los datos biológicos suelen seguir, más o menos, esta distribución.
Sin embargo, muchos datos siguen una distribución que se aparta de la normalidad. Consideremos, por ejemplo, el consumo de alcohol. Los datos no se agruparán de forma simétrica alrededor de una media. Por el contrario, la distribución tendrá un sesgo positivo (hacia la derecha): habrá un número grande alrededor del cero (los abstemios o bebedores muy ocasionales) y una larga cola hacia la derecha formada por personas con un consumo más alto. La cola se prolongará mucho hacia la derecha con los valores de consumo de esas personas que beben con frecuencia.
¿Qué impacto tiene la no normalidad en nuestros cálculos estadísticos? ¿Qué debemos hacer si los datos no son normales?
Lo primero que debemos hacer es reconocer que la variable no sigue una distribución normal. Hay una serie de métodos gráficos que nos permiten aproximar visualmente si los datos siguen la normal, como se ve en la figura. El histograma o el diagrama de cajas (box-plot) nos permiten comprobar si la distribución está sesgada, si es demasiado plana o picuda, o si tiene valores extremos. El gráfico más específico para este fin es el de probabilidad normal (q-q plot), en el que los valores se ajustan a la línea diagonal si la distribución sigue una normal.
Otra posibilidad es emplear pruebas de contraste numéricas como la de Shapiro-Wilk o la de Kolmogorov-Smirnov. El problema de estas pruebas es que son muy sensibles al efecto del tamaño de la muestra. Si la muestra es grande, pueden verse afectadas por desviaciones de la normalidad poco importantes. Al contrario, si la muestra es pequeña, pueden fracasar en la detección de desviaciones grandes de la normalidad.
Sin embargo, estas pruebas tienen otro inconveniente. Ya sabemos que en un contraste de hipótesis se establece una hipótesis nula que, generalmente, dice lo contrario de lo que queremos demostrar. Si el valor de significación estadística es menor que un valor definido (generalmente 0,05), rechazamos la hipótesis nula y nos quedamos con la alternativa, que dirá precisamente lo que queremos demostrar.
El problema es que la hipótesis nula es solo falsable, nunca podemos decir que sea verdadera. Simplemente, si la significación estadística es alta, no podremos rechazar que sea falsa, pero eso no quiere decir que sea cierta. Puede ocurrir que el estudio no tenga potencia suficiente para descartar una hipótesis nula que, en realidad, es falsa.
Los contrastes de normalidad se plantean con una hipótesis nula que dice que los datos siguen una normal. Por eso, si la significación es pequeña, podremos descartarla y decir que los datos no son normales. Pero si la significación es alta, simplemente no podremos rechazarla y diremos que no tenemos capacidad para decir que los datos no siguen una normal, lo que no es lo mismo que poder afirmar que son normales.
Por estos motivos, siempre es conveniente complementar los contrastes numéricos con algún método gráfico para comprobar la normalidad de la variable.
Una vez que sabemos que los datos no son normales, debemos tenerlo en cuenta a la hora de describirlos. Si la distribución es muy sesgada, no podremos utilizar la media como medida de centralización y tendremos que recurrir a otros estimadores robustos, como la mediana o el otro abanico de medias disponibles para estas situaciones.
Además, la ausencia de normalidad puede desaconsejar el uso de pruebas paramétricas de contraste. La prueba de la t de Student o el análisis de la varianza (ANOVA) necesitan que la distribución sea normal. La t de Student es bastante robusta en este sentido, de forma que si la muestra es grande (n > 80) puede emplearse con cierta seguridad. Pero si la muestra es pequeña o la distribución se aparta mucho de la normal, no podremos utilizar pruebas paramétricas de contraste.
¿Cómo lidiar con la no normalidad de los datos?
Existen dos posibles soluciones a este problema:
- Transformación de datos: La más utilizada en biología es la transformación logarítmica, muy útil para aproximar a una normal aquellas distribuciones con sesgo positivo (hacia la derecha). No hay que olvidar deshacer la transformación de los datos una vez realizado el contraste con la prueba en cuestión.
- Pruebas no paramétricas: Estas pruebas no requieren ninguna suposición sobre la distribución de la variable. Así, para comparar dos medias de datos no pareados emplearemos el test de la suma de rangos de Wilcoxon (también llamado test de la U de Mann-Whitney). Si los datos son pareados, habrá que usar el test de los signos de los rangos de Wilcoxon. En caso de comparaciones de varias medias, el test de Kruskal-Wallis será el equivalente no paramétrico de la ANOVA. Por último, el equivalente no paramétrico del coeficiente de correlación de Pearson es el coeficiente de correlación de Spearman.
El problema de las pruebas no paramétricas es que son más exigentes para conseguir significación estadística que sus equivalentes paramétricos, pero deben emplearse en cuanto haya la menor duda sobre la normalidad de la variable que estemos contrastando.
La normal inversa es una herramienta poderosa en estadística que nos permite relacionar valores de una variable aleatoria con probabilidades específicas en una distribución normal. Comprender su funcionamiento es esencial para interpretar y analizar datos de manera efectiva, especialmente cuando se trabaja con datos que no siguen una distribución normal.
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